La géométrie traditionnelle, dite euclidienne, ne dispose pour décrire le monde, que d’une palette d’outils sommaires : courbes, surfaces et volumes. L’analyse des structures classiques dessine ainsi un monde lisse, calme, aux contours précis. Il est pourtant certain que le monde, et les « phénomènes » qui nous entourent, ne sont pas aussi simples.

 

La théorie du chaos existe en tant que telle depuis les années 1960. Un système chaotique est un système complexe dont le comportement est imprévisible, bien que ses composants soient gouvernés par des lois simples, connues, déterministes.

Il existe d’innombrables exemples de chaos dans notre vie quotidienne : la trajectoire d’une feuille tombant d’un arbre, des volutes de fumée s’élevant dans les airs, un objet lancé dans un cours d’eau, ou encore le trajet d’une boule de billard.

Tous ces phénomènes se caractérisent par le fait qu’ils sont imprévisibles à plus ou moins long terme. Ils peuvent être décrits par des systèmes d’équations différentielles. Si ces équations n’ont qu’une très faible incertitude dans un premier temps, celle-ci augmente considérablement au cours des calculs. Ajouté à la sensibilité des conditions initiales, cela interdit donc toute prédiction, du moins sur le long terme.

Prenons, par exemple, le cas d’une feuille tombant d’un arbre. On essaie de déterminer son mouvement.

Dans le référentiel terrestre, les forces qui s’exercent sur elle sont les forces de frottement (tous les frottements sont ramenés à une seule force) et le poids.

Les forces de frottement font tourner la feuille qui offre ainsi toujours une surface différente au vent ; or ces forces dépendent de la surface présentée par la feuille. La force de frottement change donc assez souvent de direction et de sens. Le vecteur somme des forces varie constamment. D’après la 2^nde loi de Newton (dans un référentiel galiléen, lorsque la somme des forces appliquées à un solide n’est pas nulle, alors le vecteur variation de vitesse de son centre d’inertie varie entre deux instants très proches, et a même direction et même sens que le vecteur somme des forces appliquées au solide) ; donc le vecteur vitesse du centre d’inertie de la feuille varie. Il est alors beaucoup trop compliqué de déterminer la trajectoire de la feuille.

Si nous ajoutons à cela le vent, pouvant lui-même exercer une force sur la feuille à des moments impossibles à prévoir, et dont le sens, la valeur et la direction sont incalculables, nous pouvons affirmer que la trajectoire d’une feuille tombant d’un arbre est chaotique.