LA COURBE DE PEANO |
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Dans la géométrie euclidienne, un point est de dimension 0 et une courbe de dimension 1. Ils ne peuvent donc jamais remplir tout l'espace... Pourtant, en 1890, le mathématicien italien Giuseppe Peano a trouvé une courbe capable de remplir tout un carré, sans jamais se couper. Cette courbe a également été réalisée grâce à un système itératif. Pour cela, il faut prendre un carré dans lequel est dessinée la figure suivante :
On imagine alors que ce carré et son motif font partie d’un plus grand carré de côté 3 fois plus long. Chacun des 9 petits carrés sont ensuite tournés de façon à ce qu’une courbe continue se forme à l’intérieur du grand carré. On obtient la figure suivante :
On répète cette opération et au bout de quelques itérations (six sont généralement suffisantes) cette courbe semble remplir un carré entier. En réalité, la courbe remplit le carré au bout d'une infinité d'itérations : on peut donc dire que sa dimension fractale est de 2. Une réalisation en trois dimensions de la courbe de Peano permet de remplir entièrement un cube :
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