La courbe de Von Koch, ou flocon de  Von Koch, est une courbe fractale réalisée grâce à un système itératif.

Le calcul de son périmètre et de son aire  permet d’introduire un nouveau paradoxe :

 

 

Calcul du périmètre et de l’aire quand l’itération tend vers l’infini :

 

Calcul du Périmètre du focon de Koch:

Nombre de cotés : C = 3 x 4ⁱ

Longueur de chaque coté : l = 1/3ⁱ

Périmètre :

  

 

Donc, lorsque le nombre d’itération est infini, le périmètre du flocon de Von Koch est infini.

 

 

 

Calcul de l’Aire du flocon de Koch:

 

Soient :

• l la longueur d’un segment
• N_i le nombre de triangles ajoutés à chaque itération
• h la hauteur de chaque triangle ajouté
• s la surface de chaque triangle ajouté
• S_i la surface totale ajoutée à chaque itération (à partir de i=1 uniquement)
• A_i l’aire totale

 

On a :

• 
• 
• 
• 
• 
• 

 

 

Limite quand i tend vers l’infini :

On a :

A_i = A_i-1 + S_i

A_i + A_i-1 + A_i-2 + … + A₁ = A_i-1 + A_i-2 + A_i-3 + … + A₀ + S_i + S_i-1 + S_i-2 + … + S₁

A_i = A₀ + SS_i

Le calcul fait donc appel aux sommes. Après calcul, on trouve que la limite de l’aire du flocon de Von Koch est de : =0.69282

 

Les fractales introduisent ainsi un nouveau paradoxe : le fini peut contenir l’infini.

 

Calcul de la dimension fractale du flocon de Koch :

Un fragment de cette courbe, reporté quatre fois, est identique à la totalité de la courbe. De plus, ce fragment est identique à la courbe à un facteur de 3 près.

Soit N le nombre de fois que n est reporté en l.

N=4

n=1/3

L=1

On a la relation :

 

 

On remplace :   

Le flocon de Koch a donc une dimension fractale de 1,26.

Sa dimension Euclidienne, elle, est toujours de 1, car il s’agit d’une courbe.  

Explication du flocon de Koch par les L-Systèmes

 

A chaque itération, l’initiateur suivant :

 

est remplacé par le générateur :

avec

AB=BC=CD=BD=DE

L’angle BCD a une valeur de 60°

Voici ce qu’il donne aux itérations i₁, i₂, i₃, i₄ :

 

 

 

       Cette courbe peut s’expliquer par des L-Systèmes : 

+ : angle de 60° vers la gauche

- : angle de 120° vers la droite

À i₀, on a : F-F-F

À chaque itération, F à F+F-F+F

Donc on a :

1^ère itération : F+F-F+F-F+F-F+F-F+F-F+F

2^ème itération : F+F-F+F+F+F-F+F-F+F-F+F+F+F-F+F-F+F-F+F+F+F-F+F-F+F-F+F+F+F-F+F-F+F-F+F+F+F-F+F-F+F-F+F+F+F-F+F