Pour introduire la notion de dimension fractale, il est d’abord indispensable de parler de la dimension euclidienne.

 

Il existe plusieurs dimensions euclidiennes :

La dimension d’un point  : dimension zéro.

La dimension d’une courbe : dimension un.

La dimension d’une surface  : dimension deux.

La dimension d’un solide  : dimension trois.

 

Il existe un lien entre la dimension de l'objet étudié et son unité de mesure. Un objet de dimension deux se mesure en m² et un objet de dimension trois en m³.
Ces différents objets ont tous une dimension entière (respectivement 0,1, 2 et 3) ; ce qui n’est pas forcément le cas pour une courbe  fractale 

 

Démonstration de la dimension

 

Mesure de la longueur d'un segment :

Pour calculer la dimension d’un objet, il faut prendre un étalon de mesure et le reporter sur cet objet un certain nombre de fois :

 

  

Soit L la longueur totale du segment.
Soit un étalon de longueur n que l'on va reporter sur le segment. Cet étalon sera reporté l/n fois. On remarque que l/n=(l/n)¹.

Pour un segment de longueur L=3, l’étalon n=1 est ainsi reporté 3/1 fois et

L/n= (3/1)¹

 

Mesure de la surface d'un carré

 

Soit L² la surface totale du carré.
Cette fois, nous prenons un autre carré, plus petit, de côté n et de surface n². On va reporter le petit carré sur le grand  n²/l² fois pour obtenir la surface du grand carré. On a  alors : n²/l²=(n/l)²

Pour un carré de côté L=2 et de surface L²=4, un petit carré de côté n=1 et de surface n²=1 est reporté L²/n², soit 4 fois.

 

 

 

Généralisation de la notion de dimension

Dans ces deux exemples, on a fait apparaître le nombre 1 pour le segment, et le nombre 2 pour le carré. Ces nombres sont la dimension de l'objet.

Nous sommes amenés à la généralisation suivante : soit N le nombre de fois que l'on reporte l'étalon de longueur n sur notre objet de longueur L, et soit d la dimension de l'objet, on a :

            

Courbe fractale

La plupart des courbes fractales ont une dimension non entière. Si leur nombre d’itérations est faible, elles peuvent être assimilées à des courbes de dimension 1. Cependant, lorsque le nombre d’itérations est plus élevé, certaines fractales tendent à recouvrir une surface de dimension 2, ou ont un périmètre infini.

Les courbes fractales peuvent donc avoir une dimension non entière, comprise entre 1 et 2.

Chaque fractale dispose ainsi d’une « dimension fractale » qui lui est unique ; et d’une dimension Euclidienne (1 pour le cas des courbes).

Courbe fractale

La plupart des courbes fractales ont une dimension non entière. Si leur nombre d’itérations est faible, elles peuvent être assimilées à des courbes de dimension 1. Cependant, lorsque le nombre d’itérations est plus élevé, certaines fractales tendent à recouvrir une surface de dimension 2, ou ont un périmètre infini.

Les courbes fractales peuvent donc avoir une dimension non entière, comprise entre 1 et 2.

Chaque fractale dispose ainsi d’une « dimension fractale » qui lui est unique ; et d’une dimension Euclidienne (1 pour le cas des courbes).