Certainement la courbe fractale la plus connue, la courbe de Mandelbrot est réalisée grâce à une suite de points.

Elle fait appel aux suites de nombres et aux nombres complexes.

Pour la tracer, il faut procéder de la manière suivante :

On prend un point C et on cherche à savoir si celui-ci fait partie de l’ensemble de Mandelbrot. Si oui, il est colorisé en noir; sinon, il reste en clair.

 

Par exemple, prenons le nombre C = -1+0,1*i

Ce point C a pour abscisse sa partie réelle et pour ordonnée sa partie imaginaire. Ici, Xc = -1 et Yc = 0,1.

On applique ensuite au point C la suite suivante :

Z_n = Z_n-1²+C avec Z₀ = 0.

On étudie ensuite la suite lorsque n tend vers l’infini.

 

Z₀ = -1 + 0.1i

Z₁ = -0, 01 – 0,1i

Z₂ = -1, 01 + 0,10i
Z₃ = 0, 01 – 0,11i
Z₄ = -1, 01 + 0,10i
Z₅ = 0, 01 – 0,01i
Z₆ = -1, 01 + 0,10i

…

 

Si Z_n ne tend pas vers l’infini, alors C fait partie de l’ensemble de Mandelbrot. C est alors colorisé.

Si Z_n tend vers l’infini lorsque n tend vers l’infini, alors C ne fait pas partie de l’ensemble de Mandelbrot : C n’est pas colorisé.

 

Dans notre exemple, Z_n ne tend pas vers l’infini quand n tend vers l’infini, C appartient donc à l’ensemble de Mandelbrot.

 

La courbe:

On sait que si |Zn| = 2 pour un certain n, alors il est impossible que Zc converge vers le centre. La couleur représente pour quel n |Zc| = 2. C'est donc dire que les points en rouge représentent les nombres complexes c pour lesquels la condition |Zc| = 2 est rapidement atteinte.

 

L'ensemble de Mandelbrot pourrait être représenté en deux couleurs seulement. Toutefois, on en utilise d'autres pour observer les trajectoires Zn autour de l'ensemble et pour avoir une meilleure idée de la vitesse avec laquelle Zc diverge.